zakondostatka.ru

Правила в тригонометрии

Тригонометрические формулы приведения. Подробный разбор


В тригонометрии, вообще, очень много разных формул. Их количество ни в коем случае не должно пугать школьника.

Для того, чтобы успешно сдать ЕГЭ нужно не зубрить наизусть основные тригонометрические тождества, а понять их суть. Для многих формул разработаны даже специальные мнемонические правила, чтобы их можно было проще запомнить. Один из самых сложных и запутанных, на взгляд ученика средней школы, раздел тригонометрических выражений – это формулы приведения.

Для чего же они нужны? Отбросив вступление, скажем сразу — формулы приведения позволяют заменить функцию на кофункцию. Например, если в задании стоит синус α, его можно заменить на косинус α, и наоборот. ФункцияКофункция sin αcos α cos αsin α tg αctg α ctg αtg α Так в каких же случаях необходимо применять формул приведения?!

Все очень просто, с их помощью, можно заменить не только функцию, но и аргумент. Например, косинус тупого угла можно заменить на косинус или синус острого угла. А теперь, внимательно рассмотрим список.

Самой первой тригонометрической функцией была хорда, соответствующая данной дуге. Для этой функции были построены первые тригонометрические таблицы (II в.

до н. э.), нужные для астрономии. Впервые в истории науки в период V-XII веков индийские математики и астрономы вместо полной хорды стали рассматривать половину хорды, которая соответствует современному понятию синуса. Величину половины хорды они назвали “архиджива”, что означало “половина тетивы лука”.

Кроме sin x, индийцы рассматривали также величину 1 – cos x, которую они называли “комаджива”, и величину cos x – “котиджива”. Понятие таких тригонометрических функций, как тангенс, котангенс, секанс и косеканс, определил совершенно строго, исходя из рассмотрения тригонометрического круга, иранский математик Абу-ль-Вефа. Современные названия этих функций были даны в период с XV по XVII век европейскими учеными.

Так, термин “тангенс” с латинского “касательная” был введен в XV веке основателем тригонометрии в Европе Региомонтаном.

Формулы приведения: доказательство, примеры, мнемоническое правило

Данная статья посвящена подробному изучению тригонометрических формул приведения. Дан полный список формул приведения, показаны примеры их использования, приведено доказательство верности формул.

Также в статье дано мнемоническое правило, которое позволяет выводить формулы приведения, не запоминая каждую формулу.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Фомулы приведения позволяют приводить основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов, лежащих в интервале от 0 до 90 градусов (от 0 до π2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко применяются при решении задач тригонометрии.

Прежде, чем мы запишем сами формулы, уточним несколько важных для понимания моментов. Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются угды вида ±α+2π·z, π2±α+2π·z, 3π2±α+2π·z.

Здесь z — любое целое число, а α — произвольный угол поворота.

Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых довольно внушительно.

Все формулы по тригонометрии

На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении.

Содержание {\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}} {\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}} {\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1} {1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}} {1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}} {\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1} {\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha} {\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}} {\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha} {\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha-

Математика для блондинок

Преобразование тригонометрических функций — правило прямого угла не ищите в учебниках.

Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.
Такого математического правила нет ни в одном учебнике математики. Это придумал я в результате нудного ковыряния в . Оказывается, если отбросить знаки тригонометрических функций, всё становится простым и понятным. На уроках математики всего того, что вы прочтете ниже, я не советую рассказывать — преподаватели математики могут обидеться, что вы знаете больше них.

А вот для проверки правильности своих решений правило прямого угла вам очень даже пригодится.Первым делом разделим все тригонометрические функции на три пары перпендикулярно симметричных функций: синус и косинус, тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Понятие перпендикулярной симметрии тригонометрических функций в математике отсутствует, хотя именно на её свойствах основано действие правила прямого угла и формул приведения тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы.

Их вывод

  • >

1.

Читай полную теорию 2. Вникай в доказательства 3. Применяй на практике Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы: \(\blacktriangleright\) Основные тождества: \[\begin{array}{|l|l|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} &\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \\&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} & 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end{array}\] \(\blacktriangleright\) Формулы сложения углов: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp

Тригонометрические формулы.

Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения , которые выполняются при любых значениях аргумента.

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β) tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β) ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α) ctg (α — β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α) cos 2α = cos² α — sin² α cos 2α = 2cos² α — 1 cos 2α = 1 — 2sin² α sin 2α = 2sin α · cos α tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α) ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α) sin 3α = 3sin α — 4sin³ α cos 3α = 4cos³ α — 3cos α tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α) ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α) Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части.

Тригонометрические формулы

— часто встречающиеся математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента.

sin α, cos α tg α = sin α, α ≠ π + πn, n є Zcos α2 ctg α = cos α, α ≠ π + πn, n є Zsin α sec α = 1, α ≠ π + πn, n є Zcos α2 cosec α = 1, α ≠ π + πn, n є Zsin α sin2 α + cos2 α = 1 tg α · ctg α = 1 1 + tg2 α = 1cos2 α 1 + ctg2 α = 1sin2 α sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β cos(α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β cos(α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β tg(α + β) = tg α + tg β1 – tgα · tg β tg(α – β) = tg α – tg β1 + tgα · tg β ctg(α + β) = ctgα · ctg β — 1ctg β + ctg α ctg(α — β) = ctgα · ctg β + 1ctg β — ctg α sin 2α = 2 sin α · cos α cos 2α = cos2 α — sin2 α tg 2α = 2 tg α1 — tg2 α ctg 2α = ctg2 α — 12 ctg α sin 3α = 3 sin α — 4 sin3 α cos 3α = 4

Тригонометрия.

Свойства, графики тригонометрических функций.

Тригонометрия — раздел в математику, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии.

изначально связывались с соотношениями сторон в .

У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

Соотношения сторон и их связь с функциями:

  1. Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
  2. Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
  3. Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
  4. Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.
  5. Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
  6. Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е.

Back to Top